Vecteurs Singuliers des Theories des Champs Conformes Minimales

En 1984 Belavin, Polyakov et Zamolodchikov revolutionnent la theorie des champs en explicitant une nouvelle gamme de theories, les theories quantiques des champs bidimensionnelles invariantes sous les transformations conformes. L'algebre des transformations conformes de l'espace-temps presente une caracteristique remarquable: en deux dimensions elle possede un nombre infini de generateurs. Cette propriete impose de telles conditions aux fonctions de correlations qu'il est possible de les evaluer sans aucune approximation. Les champs des theories conformes appartiennent a des representations de plus haut poids de l'algebre de Virasoro, une extension centrale de l'algebre conforme du plan. Ces representations sont etiquetees par h, le poids conforme de leur vecteur de plus haut poids, et par la charge centrale c, le facteur de l'extension centrale, commune a toutes les representations d'une meme theorie. Les theories conformes minimales sont constituees d'un nombre fini de representations. Parmi celles-ci se trouvent des theories unitaires dont les representation forment la serie discrete de l'algebre de Virasoro; leur poids h a la forme h_{p,q}(m)=[ (p(m+1) -qm)^2-1] (4m(m+1)), ou p,q et m sont des entiers positifs et p+q<= m+1. L'entier m parametrise la charge centrale: c(m)=1 -{6over m(m+1)} avec n>= 2. Ces representations possedent un sous-espace invariant engendre par deux sous-representations avec h_1=h_{p,q} + pq et h_2=h_{p,q} + (m-p)(m+1-q) dont chacun des vecteurs de plus haut poids portent le nom de vecteur singulier et sont notes respectivement |Psi _{p,q}> et |Psi_{m-p,m+1-q}>. . Les theories super-conformes sont une version super-symetrique des theories conformes. Leurs champs appartiennent a des representation de plus haut poids de l'algebre de Neveu-Schwarz, une des deux extensions super -symetriques de l'algebre de Virasoro. Les theories super -conformes minimales possedent la meme structure que les theories conformes minimales. Les representations sont elements de la serie h_{p,q}= [ (p(m+2)-qm)^2-4] /(8m(m+2)) ou p,q et m sont des entiers positifs, p et q etant de meme parite, et p+q<= m+2. La charge centrale est donnee par c(m)={3over 2}-{12over m(m+2)} avec m >= 2. Les vecteurs singuliers | Psi_{p,q}> et |Psi_{m-p,m+2-q} > sont respectivement de poids h _{p,q}+pq/2 et h_ {p,q}+(m-p)(m+2-q)/2.. Les vecteurs singuliers ont une norme nulle et on doit les eliminer des representations pour que celles -ci soient unitaires. Cette elimination engendrent des equations (super-)differentielles qui dependent directement de la forme explicite des vecteurs singuliers et auxquelles doivent obeir les fonctions de correlations de la theorie. Ainsi la connaissance de ces vecteurs singuliers est intimement reliee au calcul des fonctions de correlation. Les equations definissant les vecteurs singuliers forment un systeme lineaire surdetermine dont le nombre d'equations est de l'ordre de N(pq), le nombre de partitions de l'entier pq. Puisque les vecteurs singuliers jouent un role capital en theorie conforme, il est naturel de chercher des formes explicites pour les vecteurs (ou pour des familles infinies de ceux -ci). Nous donnons ici la forme explicite pour la famille infinie de vecteurs singuliers ayant un de ses indices egal a 1, pour les algebres de Virasoro et de Neveu-Schwarz. Depuis ces decouvertes, d'autres techniques de construction des vecteurs singuliers ont ete developpees, dont celle de Bauer, Di Francesco, Itzykson et Zuber pour l'algebre de Virasoro qui reproduit directement l'expression explicite des vecteurs singuliers |Psi _{1,q}> et |Psi_{p,1}>. Ils ont utilise l'algebre des produits d'operateurs et la fusion entre representations irreductibles pour engendrer des relations de recurence produisant les vecteurs singuliers. Dans le dernier chapitre de cette these nous adaptons cet algorithme a la construction des vecteurs singuliers de l'algebre de Neveu-Schwarz.